关于二进制表示和补码计算的来龙去脉

一、前言

计算机最喜欢的数字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只认识这两个数字，即使是强大的操作系统，也都是由 0 和 1 组成的。

作为一名软件开发者，入门学习的内容可能就是认识这 2 个既简单、又强大的数字。但是大部分人，对于二进制、二进制计算、原码、反码以及补码的认识，仍处于机械的强制记忆阶段。尤其是对一些编码和计算，仍然处于模糊的认识阶段，例如：

CPU 是如何表示负数的？

为什么补码可以用来表示负数？

一个 8 位的二进制数，最小值为什么是 －128，而不是 －127？

CPU 中的加法器，为什么可以连同符号位一起运算？

这篇文章我们就来聊聊这个最最基础的内容，帮助你来理解二进制计算的相关内容，看完这篇文章之后，不仅知其然，更能知其所以然！

PS： 这里有点高调了，最终的所以然部分，应该涉及到数学证明这一层次了，本文并不会涉及到求证过程。

二、从十进制到二进制 

1． 十进制

作为数学计算能力强大的中国，10 以内的加减法，应该是在幼儿园阶段就完成了。如果你不属于这个范围，说明你上的是假幼儿园。

我们来快速复习一下关于十进制运算的一些基本知识：

每一个数位上包括的数字为 0 到 9；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 10 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 10，就向前进 1 位，即：满十进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数（个位）上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数（十位）上的数字代表多少个 10；

从右数第三个位数（百位）上的数字代表多少个 100；

从右数第四个位数（千位）上的数字代表多少个 1000；

十进制的数，可以使用后缀字母 D 来表示，也可以省略。例如：十进制的 1234 这个数字，个位上的数是 4， 十位上的数是 3， 百位上的数是 2，千位上的数是 1（一般是从最右侧的个位说起），每一个数位上的数比它右侧大十倍。如下图：

十进制数据，也称作基于十的表示法。

2． 二进制

那么对于二进制呢？直接套用上面十进制的概念，然后把 10 换成 2 即可（目前先忽略符号位）：

每一个数位上包括的数字为 0 和 1；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 2 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 2，就向前进 1 位，即：满二进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数上的数字代表多少个 2；

从右数第三个位数上的数字代表多少个 4；

从右数第四个位数上的数字代表多少个 8；

记住几个重点：二进制数中只包含 0 和 1 两个数字，在相加时满二进一。

在十进制中，每一个数位我们给它进行了专门的命名（个位、十位、百位．．．），但是二进制没有类似的命名。

二进制的数，使用后缀字母 B 来表示，例如：二进制的 1111B 这个数字，用图来表示权重如下：

换算成十进制数就是 15（1 ＊ 8 ＋ 1 ＊ 4 ＋ 1 ＊ 2 ＋ 1 ＊ 1 ＝ 15）。

在二进制中，每一位称为一个比特（bit），如果用 8 个 bit 来表示一个二进制数，最小值是 0000＿00000，最大值是 1111＿1111；

如果用 16 个 bit 来表示一个二进制数，最小值是 0000＿0000＿0000＿0000，最大值是 1111＿1111＿1111＿1111。（为了便于观察，每 4 个 bit 之间，加上了分隔符）

在早期的计算机中，8 位的处理器很常见，于是就给它一个专门的名字：字节（Byte）。16 位的二进制数就是 2 个字节，也称作：字（Word）。