在三维空间中表示平面和直线

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平面和直线是三维计算机视觉和计算机图形学中有用的几何实体。将它们表示为一组点是低效的,这会导致很大的内存需求,具体取决于用于生成点的步长。

在本文中,我将讨论如何使用向量方程表示平面和直线。我还将介绍如何使用向量形式找到直线和平面之间的交点。

三维线条

我们可以用下面的等式[1]表示向量形式的直线。

p = l? + l * ** d,** d ∈ R

其中,I是一个向量,表示直线方向,l?是直线上的一个点,d是标量。

p是直线上的通用点,这些点定义了线。因此,为了定义直线,我们只需要知道6个数字/参数,就可以用向量形式完整地表示它。

我创建了一个类来表示线向量并绘制它。它由一个vector和一个point_on_line参数化,它们都是3x1 numpy列向量。

要在直线上获得点,我们可以使用该方程。通过缩放vector改变d。

image.png

我将展示一些样本行。

向量(1,1,1)点(0,0,0);

如果你想要一条横跨二维平面的线,那么你可以使用一个在两个坐标中只有非零值的向量,你将在二维平面中得到一条线。向量(1,1,0)点(0,0,0):

三维平面

我们可以用下面的等式表示向量形式的平面。

(pp?) *  n = 0,其中n是平面的法向(垂直)向量,p?是平面上的点。

上述方程式中所有点p的轨迹定义了该平面。(p — **p?)**表示平面中的向量,n表示平面的正交向量或法向量。因此,对于平面上所有点p的这些向量,相互正交的这两个向量的点积将为零。

用六个数字来表达一个平面十分优雅!

下面是Python中使用上述定义的平面类。

image.png

接下来,让我们看看如何找到直线和平面的交点。

3D中点与平面的交点

现在我们知道了如何在3D中表示点和平面,我们可以看看如何找到这两个几何图形之间的交点。

如果一条直线和某个平面在点p相交,它将同时满足直线和平面方程。因此,为了找到交点,将p的值从直线方程代入平面方程。

(( **l? + l * ** d) — p?* n = 0

展开这些项可以得到以下等式。

l *  n) d + (l? — p?) *  n = 0

求解d得到:

d = (p? — l?) *  n / (l *  n)

这返回给我们一个点,该点位于直线和平面上。

有三种情况。

首先是直线和平面平行,但直线不在平面内。

接下来是,正好有一个交点。

最后,直线平行于平面并在平面中,在这种情况下,直线中的每个点也将位于平面上。因此,在这种情况下,将有无限多个点同时满足这两个方程。

对于前两个案例,l *  n = 0,因为对于它们,I垂直于法向量n。否则,我们将得到一个实数d,它可以在直线方程中替换回来,以得到交点:

p = l? + l * d

我已经为平面和直线类编写了一个基于上述方程计算交点的函数。请注意,函数是相同的等式,唯一不同的是代码语法。class Line:

image.png

image.png

现在,我们可以使用plane和line类来查找它们之间的交点。例如:

image.png

我们可以使用Symphy验证结果:

image.png

我们也使用Symphy实现来验证我们的代码。

结论

在本文中,我们研究了3D中的线和平面。我们看到了它们的向量方程,以及如何用一个向量和一个点来表示它们。这是一个非常紧凑的表示,只有六个数字。我们最终了解了如何找到两者之间的交叉点,并查看了三种可能的交叉点情况。

参考文献

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